Calidad

 Introducción ¿  La Distribución Normal   ¿  La Distribución Normal Tipificada  ¿  Métodos de Cálculo. Tablas  ¿  Tipificación de la Variable  ¿  Calculadora

 

 

   Introducción

  En la industria la calidad final que se obtiene en un proceso depende de muchos factores: experiencia de los operarios, calidad de las materias primas, estado de las herramientas, etc. Algunos de estos parámetros se conocen de forma exacta (variables asignables), mientras que otros se sabe que siguen una tendencia (variables aleatorias). La estadística nos proporciona una herramienta muy interesante para poder trabajar con estos casos en los que se conoce sólo el comportamiento pero no el valor preciso: la variable aleatoria.

  Variable aleatoria es una función que asocia un número a cada suceso elemental de un espacio muestral.

  Supongamos que hacemos un histogramas de frecuencias relativas de la intensidad de disparo de un interruptor automático. El histograma tendrá la forma de la figura izquierda de debajo. A medida que los intervalos se van haciendo más pequeños, la línea poligonal de frecuencias relativas tiende hacia una línea curva. Esta curva es la gráfica de una función f(x) llamada función de densidad,  figura debajo derecha, que está asociada a una distribución de probabilidades de una variable aleatoria continua.

 

E Variable estadística

E Frecuencia relativa de xi

E  Fi = fi/n  y  S Fi = 1

E Variable aleatoria

E Probabilidad del suceso xi

E  f(xi) = pi  y  S pi = 1

  Cuando se trabaja con una variable aleatoria continua siempre se determinan probabilidades de que la variable aleatoria X pertenezca a un cierto intervalo P(x1≤ X≤ x2), ya que la probabilidad en un punto es cero.

 La función de densidad f(x) es una función asociada a una variable aleatoria continua X que permite hallar mediante el cálculo de áreas las probabilidades en las distribuciones continuas.

 La función de distribución de una variable aleatoria continua es la función que determina la probabilidad de que la variable aleatoria X tome un valor menor o igual a xi: F(xi) = P(X ≤ xi)

El área de la región comprendida entre f(x), OX y dos rectas x1 y x2 es la probabilidad de que la variable aleatoria X esté en el intervalo [x1, x2].

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 La Distribución Normal N (m, s)

  La distribución normal N (m, s) es un modelo matemático que rige muchos fenómenos. La experiencia demuestra que las distribuciones de la mayoría de las muestras tomadas en el campo de la industria se aproximan a la distribución normal si el tamaño de la muestra es grande. Esta distribución queda definida por dos parámetros: la media m y la desviación típica s. Se presenta mediante una curva simétrica conocida como campana de Gauss. Esta distribución nos da la probabilidad de que al elegir un valor, éste tenga una medida contenida en unos intervalos definidos. esto permitirá predecir de forma aproximada, el comportamiento futuro de un proceso, conociendo los datos del presente.

La desviación típica es grande, el intervalo de incertidumbre de la medida es grande, la precisión es débil

La desviación típica es pequeña, el intervalo de incertidumbre de la medida es pequeña, la precisión es grande

   

Tienen especial interés los siguientes intervalos:

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  La Distribución Normal Tipificada 

  La distribución normal tipificada N (0, 1). Cuando la media de la distribución es 0 y la varianza es 1 se denomina "normal tipificada", y su ventaja reside en que hay tablas donde se recoge la probabilidad acumulada para cada punto de la curva de esta distribución.

 La tabla nos da la probabilidad acumulada, es decir, la que va desde -¥ hasta un valor. No nos da la probabilidad concreta en ese punto. En una distribución continua en el que la variable puede tomar infinitos valores, la probabilidad en un punto concreto es cero.

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  Método para Calcular Probabilidades (Tabla con Valores + y -)

Abrir Ventana con Tabla (valores + y -)

  La probabilidad en un intervalo t1tt2 se obtiene restando de la probabilidades acumulada  t2 p(t2)  la probabilidad acumulada de t1 p(t1)

P(t1tt2) = p(t2)  - p(t1)  

 

Ejemplo:

Probabilidad en el intervalo -1 t 0,5

P(-1≤ t ≤ 05) = p(0,5)  - p(-1) =

= 0,6915 -0,1587 = 0,5328

 

  Método para Calcular Probabilidades (Tabla con Valores sólo +)

Abrir Ventana con Tabla (valores +)

 En este caso hay que hacer algunas consideraciones, tal como se indica a continuación:

 

La probabilidad p de que un valor cualquiera  t  se encuentre en el intervalo   -∞ < t < +∞ es de 1 (100%)
La probabilidad p de que un valor cualquiera  t  se encuentre en el intervalo   -∞ < t < t1 es de p(t1)

Ejemplo:

P(t ≤ 1,75) = 0,9599

[P(t >1,75) = 1-0.9599 = 0,041]

La probabilidad p de que un valor cualquiera  t  se encuentre en el intervalo   -∞ < t < -t1 es de p(-t1) = 1 - p(t1)

Ejemplo:

P(t ≤ -0,5) = 1- P(t ≤ 0,5) = 1-0,6915 = 0,3085

ó también

P(t ≤ -0,5) = P(t > 0,5) = 1-P(t ≤ 0,5) = 0,3085

La probabilidad p de que un valor cualquiera  t  se encuentre en el intervalo   -t1 < t < +t1 es de p(-t1<t<+t1) = p(t1) - p(-t1) = 2p(t1)-1

Ejemplo:

P(-1≤ t ≤ 1) = 2P(t ≤ 1) -1= 2∙ 0,8413 -1 = 0,6826

 

La probabilidad p de que un valor cualquiera  t  se encuentre en el intervalo   t1 < t < t2 es de p(t1<t<t2) = p(t2) - p(t1)

Ejemplo:

P(1≤ t ≤ 1,85) = P(t≤1,85) - P(t≤1) = 0.9678 - 0,8413 = 0,1265

 

La probabilidad p de que un valor cualquiera  t  se encuentre en el intervalo   -t1 < t < +t2 es de p(-t1<t<+t2) = p(t2) - p(-t1) = p(t2) - [1 - p(t1)] = p(t2) + p(t1) -1

Ejemplo:

P(-1≤ t ≤ 1,85) = P(t≤1,85) + P(t≤1) -1 = 0.9678 + 0,8413 - 1 = 0,8091

 

La probabilidad p de que un valor cualquiera  t  se encuentre en el intervalo   -t1 < t < -t2 es de p(-t1<t<-t2) = p(-t2) - p(-t1) = [1 - p(t2)] - [1 - p(t1)] = p(t1) - p(t2)

Ejemplo:

P(-1,85≤ t ≤ -1) = P(t≤1,85) -P(t≤1) = 0.9678 - 0,8413 = 0,1265

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  Tipificación de la Variable 
Si se tiene una curva normal N (m, s) y se quiere hallar las probabilidades a partir de las tablas de la normal estándar N(0,1) es preciso realizar un cambio de variable (tipificación):

P(X ≤ x) = P(t  ≤ (x -m)/s)

Es decir,  la probabilidad de que x esté entre entre dos valores a y b es igual a la probabilidad de que t esté entre:

(a - m)/s  y   (b - m)/s

 

Ejemplo:

Sea la curva normal N(100,10), se desea hallar la probabilidad de que x tome un valor entre 90 y 110.

t1 = (90 -100)/10 = -1

t2 = (110 -100)/10 = 1

Se busca en la tabla N(0,10) p(-1<t<1) = p(1) - p(-1) = p(1) - [1 - p(1)] = p(1) + p(1) - 1 = 0,8413 + 0,8143 - 1 = 0,6826 y en porcentaje 68,26%

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